A2. 付録6．計算式集の公式

付録6．計算式集の公式

測量法第34条で定める作業規程の準則を国土地理院が定めており、その「付録 6 計算式集」が参照できます。

「付録 6 計算式集」の冒頭は、「楕円体の原子」、「楕円体の諸公式」となっています。この公式を検算に使いたいと思います。

まず、地球と見なす準拠楕円体は、GRS80と同じ、赤道半径 a と扁平率 f で定義されます。

長半径 m 、扁平率 $f=\frac{1}{298.257222101}$

準拠楕円体は、回転楕円体なので、赤道は半径 a の真円です。極半径 b は、扁平率 f

によって、

$b=a\left({1-f}\right)=6356752.314140$

扁平率が分数で与えられるので、計算上、その逆数の、

を使用して、

$b=a\left({1-f}\right)=a\frac{F-1}{F}$

離心率 e で表すと、

$e=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{e'}^{2}}{1+{e'}^{2}}}=\sqrt{2f-{f}^{2}}=\frac{\sqrt{2F-1}}{F}$

第2離心率 e' は、

$e'=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}}}=\sqrt{\frac{{e}^{2}}{1-{e}^{2}}}=\frac{\sqrt{\frac{2}{f}-1}}{\frac{1}{f}-1}=\frac{\sqrt{2F-1}}{F-1}$

扁平率 f は、

$f=\frac{1}{F}=\frac{a-b}{a}=1-\sqrt{1-{e}^{2}}$

地球は地軸を軸に回転して赤道が膨らんだ回転楕円体なので、準拠楕円体の赤道は真円です。経線は全て同じ形の楕円です。極では、どの方位でも同じ曲率になります。

極における曲率半径 c は、

$c=\frac{{a}^{2}}{b}=\frac{a}{1-f}$

ある緯度 φ における平均曲率 R は、その地点を通る経線の曲率半径 M と、経線に直交する卯酉線の曲率半径 N の2つの値の幾何平均のことのようです。

緯度 φ における経線の曲率半径（子午線曲率半径）

$M=\frac{a\left({1-{e}^{2}}\right)}{{W}^{3}}=\frac{c}{{V}^{3}}$

緯度 φ における卯酉線の曲率半径（卯酉線曲率半径）

$N=\frac{a}{W}=\frac{c}{V}$

緯度 φ における平均曲率半径

$R=\sqrt{MN}=\frac{b}{{W}^{2}}=\frac{c}{{V}^{2}}$

ここで、

$W=\sqrt{1-{e}^{2}\cdot{}{sin}^{2}\varphi{}}$

$V=\sqrt{1+{e'}^{2}\cdot{}{cos}^{2}\varphi{}}$